Quattro modi di fare i conti
Esistono esattamente quattro sistemi di numeri in cui si può sempre dividere: i numeri reali, i numeri complessi (con $i=\sqrt{-1}$), i quaternioni di Hamilton (quattro componenti, $ij \neq ji$), e gli ottoni (otto componenti, perfino $(ab)c \neq a(bc)$). Non ce ne sono altri: è un fatto di matematica pura, reso rigoroso nel 1898.
Perché i quaternioni descrivono lo spazio-tempo
Il mondo fisico, con tre dimensioni di spazio e una di tempo, sarebbe scritto nel linguaggio dei quaternioni: una componente si comporta diversamente dalle altre tre, naturalmente il tempo. Ma la norma di un quaternione è sempre positiva, mentre la metrica di Minkowski ha bisogno di un segno meno: il passaggio resta un'analogia suggestiva, non una dimostrazione.
Dove sono finiti gli ottoni?
Gli ottoni, con otto componenti, descriverebbero dimensioni extra nascoste: una si sovrappone al tempo già contato, le altre sette diventano dimensioni spaziali arrotolate. $4+7=11$: il numero di dimensioni della M-teoria (Capitolo 11).
Il gruppo G₂: la simmetria degli ottoni
Gli ottoni hanno una simmetria chiamata $G_2$, un "gruppo eccezionale" raro. Nell'ontologia di Fisica Ontologica, $G_2$ descrive come le sette dimensioni nascoste possono curvarsi e torcersi restando coerenti.
Dal gruppo G₂ al Modello Standard: una precisazione importante
Il gruppo delle particelle note (il Modello Standard) ha rango quattro, mentre $G_2$ ne ha solo due: non può quindi contenerlo direttamente. La versione più prudente: $G_2$ descrive come si piega lo spazio a sette dimensioni; le particelle emergerebbero non da $G_2$ stesso, ma dai punti in cui lo spazio sviluppa "pieghe" (singolarità).
Perché tre generazioni di particelle?
L'idea che le sette unità immaginarie degli ottoni si dividano in tre gruppi non regge: $G_2$ le tratta tutte allo stesso modo. L'idea più seria lega il numero di generazioni al numero di "buchi" tridimensionali dello spazio a sette dimensioni, un calcolo ancora aperto (Capitolo 21).